体の拡大とトレース - 冬の数学日記(Mathematic Diary in Winter)

昔に考えていたことがふと解決したので書いておきます.

L/kを体のn次分離拡大とする. Lを含む代数的閉体Fを固定する.

(例えば, ${k=\mathbf{Q}, F = \mathbf{C}}$ という状況を考える. この時L/kは必ず分離拡大になる.)

・LからFへのK準同型は全部でn個あることが証明できるので, それを ${\sigma_1, \ldots, \sigma_n}$ と書く.

・Lの元xに対して ${f_x:L \rightarrow L:l \mapsto xl}$ はk線形写像である. xのL/kにおけるトレースを ${\rm{Tr}_{L/k}(x):= \rm{Tr(f_x)}}$ で定める.

この時, 次の事実は, (体論をよく使う人には)よく知られている:

定理1任意の ${x \in L}$ に対して ${\rm{Tr}_{L/k}(x) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(x) }$ が成り立つ.

今回は次の事実(メイン !)を経由して上の公式を示そう.

定理2 ${g_x:L\otimes_kF \rightarrow L\otimes_kF}$ を ${g_x(a\otimes b)=ax \otimes b}$ で定める. この時F線型写像 ${g_x}$ の固有値は重複も込めて ${\sigma_1(x), \ldots, \sigma_n(x)}$ である.

証明は ${g_x}$ の特性多項式が(xの最小多項式)^d (d=[L:k(x)])であることを示せばよく, これはそんなに大変でない.□

しかし, この場合固有値に対応する固有ベクトルがわからない. 次の主張を認めれば, 固有ベクトルを特定する形で証明ができる.

命題 3Vをn次kベクトル空間, ${v_1,\ldots,v_n}$ を基底, ${f:V\rightarrow V}$ を線型写像, Aを ${v_1, \ldots, v_n}$ に関するfの表現行列とする.この時Vの基底 ${w_1,\ldots,w_n}$ でfの表現行列が ${A^{t}}$ になるようなものがある.

ブログを書いた時は多分成り立つでしょうという感じでしたが、証明しました(証明はここに書きました; http://wagomu.hatenablog.com/entry/2015/05/03/061454)。

定理2の証明にもどります。

まず, L/kの基底 ${v_1, \ldots, v_n}$ をとり ${f=f_x}$ に対して命題3の保証する ${w_1,\ldots,w_n}$ をとる.ここで, ${a = v_1\otimes \sigma(w_1) + \cdots + v_n\otimes \sigma(w_n)}$ (σはLからFへのk準同型)としてさだめる.