巡回群 - 冬の数学日記(Mathematic Diary in Winter)

小ネタです。

定理pを3以上の素数, nを自然数とするとき, ${(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^{\times}}$ は巡回群

p進数を使った証明です。

証明:

まず、Henselの補題より、 ${\mathbf{Z}_p}$ は1のp-1乗根の集合 ${\mu_{p-1}}$ を含む。さらにHenselの補題から ${\mu_{p-1}}$ は ${(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}}$ の代表系となることも分かる。 ${(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}}$ が巡回群であるということから, 準同型 ${r:(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times} \rightarrow {\mathbf{Z}_p}^{\times}}$ で合成

${ (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times} \rightarrow {\mathbf{Z}_p}^{\times} \rightarrow (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}}$

が恒等写像となるものがとれる. よって, 次の(Abel群の)完全列

${1 \rightarrow N \rightarrow (\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^{\times} \rightarrow (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times} \rightarrow 1}$

は分裂する. すなわち,

${(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^{\times} = N \times (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}}$

である.

ここで ${N = \{ 1+pn \in (\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^{\times} \mid n \in \mathbf{Z} \}}$ である.

すると2つの(連続)全射準同型 exp: ${p\mathbf{Z}_p \rightarrow 1+p\mathbf{Z}_p}$ , ${1 + p\mathbf{Z}_p \rightarrow N}$ の合成を考えると ${p\mathbf{Z}_p}$ が副巡回群でありNが有限群であることからNは巡回群であることがわかる.

ここで, Nの位数はpベキであり, ${(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}}$ の位数はp-1であることから ${(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^{\times} = N \times (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\times}}$ は巡回群. □