冬の数学日記(Mathematic Diary in Winter)

数学系の話題がメインですが、他のことも多分書きます。

行列の同時標準化

同時対角化は有名ですが、同時三角化もあります。残念ながら、同時ジョルダン標準化は出来ません(Remark)。しかし、それより少し弱い結果なら成立します(Theorem3+Theorem1).

 

kは代数閉体とします。

 

 

Theorem1(同時三角化){\{A_\lambda \in \operatorname{M}_n(k) \}_{\lambda \in \Lambda} }をどの2つも互いに可換な行列とする.この時, 可逆行列Pで各{\lambda \in \Lambda}に対し{P A_\lambda P^{-1}}が上三角行列になるものが存在する.

Proof.

{k^n}の部分空間の列{0=V_0 \subsetneqq V_1 \subsetneqq \cdots \subsetneqq V_n =V= k^n}で, 各{\lambda \in \Lambda}, 各{i = 1,\ldots,n}について{ A_\lambda V_i \subset V_i}が成り立つようなものが取れれば良い.

このような列の存在をnについての帰納法で示す.

n=1の時は成立

n>1の時

・全ての{\lambda}について{A_\lambda}スカラー写像の時, 主張は明らかに成立.

{B= A_{\lambda_0},\lambda_0 \in \Lambda}スカラー写像でないとする.

この時, {B}固有値bを一つとれば, {0 \subsetneqq \operatorname{ker}(B - bI) \subsetneqq V}が成立し, {W := \operatorname{ker}(B - bI)}とおくとき{\{A_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}}{B}と可換だったので{A_\lambda(W) \subset W}が各{\lambda \in \Lambda}で成立する.

帰納法の仮定をW,V/Wにそれぞれ適用すれば, Vに対して目的の部分列が作れる. □

Corollary(同時固有ベクトルの存在)Vを有限次元kベクトル空間, { \{ f_\lambda \in \operatorname{End}_k(V) \}_{\lambda \in \Lambda}}をどの2つも互いに可換な線形写像の族とする. この時,{ \{ f_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}} は共通の固有ベクトルを少なくとも一つもつ.

 

 

 

Theorem2(同時対角化){\{A_\lambda \in \operatorname{M}_n(k) \}_{\lambda \in \Lambda} }をどの2つも互いに可換な行列とする.さらに, 各{\lambda \in \Lambda}に対し{A_\lambda}は対角化可能であるとする. この時, 可逆行列Pで各{\lambda \in \Lambda}に対し{P A_\lambda P^{-1}}が対角行列になるものが存在する.

Proof.

nについての帰納法で証明する.

n=1の時, 主張は明らか.

n>1の時,

・全ての{\lambda}について{A_\lambda}スカラー写像の時, 主張は明らかに成立.

{B= A_{\lambda_0},\lambda_0 \in \Lambda}スカラー写像でないとする.

この時, {B}の任意の固有値bに対して, {0 \subsetneqq \operatorname{ker}(B - bI) \subsetneqq k^n}が成立し, {W := \operatorname{ker}(B - bI)}とおくとき{\{A_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}}{B}と可換だったので{A_\lambda(W) \subset W}が各{\lambda \in \Lambda}で成立する.

{k^n = \oplus_c \operatorname{ker}(B - cI) } (cはBの固有値を渡る) と分解するから次のclaimを示せば帰納法の仮定からTheoremも示される.

claim: 各{\lambda}について, {A_\lambda |_W \in \operatorname{End}_k(W)}は対角化可能である.

 {A_\lambda}は対角化可能だから, {A_\lambda}固有値{a_1,\ldots, a_s}(重複許さず)とすると, { k^n = V(a_1) \oplus \cdots \oplus V(a_s) \ (V(a_i) = \operatorname{ker}(A_\lambda - a_iI))}と分解する.

{ w \in W}{ w = x_1 + \cdots + x_s \ (x_i \in V(a_i))}と書くとき,

(★) { bx_1+ \cdots + bx_s = bw = Bx = Bx_1 + \cdots + Bx_s }

となる. {i=1,\ldots,s}について{BV(a_i) \subset V(a_i)}が成り立つから (★) から各{i=1,\ldots,s}について { Bx_i = bx_i}が成り立つ.

従って, {W = W \cap V(a_1) \oplus \cdots \oplus W \cap V(a_s)}と分かり, これは{A_\lambda |_W \in \operatorname{End}_k(W)}が対角化可能であることを意味する.□

(この証明はkが代数閉体であることを使っていません!)

 

 

Theorem3Vを有限次元kベクトル空間, {R \subset \operatorname{End}_k(V)}を可換な部分環とする. 環準同型{\alpha:R \rightarrow k}に対して{V \langle\alpha\rangle:=\{ v \in V \mid \exists n \in \mathbf{N}, \forall A \in R, (A-f(A)I)^nv=0 \}}と定める. この時, {V = \oplus_{\alpha \in Hom(R,k)}V\langle\alpha\rangle }が成り立つ.

Proof.

n={\dim_kV}についての帰納法で証明する.

n=1の時, 主張は明らか.

n>1の時,

{A \in R}とAの固有値aに対し, {V_A \{a\} := \{ v \in V \mid \exists N \in \mathbf{N}, (A - aI)^Nv = 0 \}}とおく.

・すべての{A \in R}とAの固有値aに対し, {V_A\{a\} = V}が成立する時, Aに対する唯一の固有値{a_A}とおくとき, {f:\operatorname{End}_k(V) \rightarrow k:A \mapsto a_A}が環準同型であることを示す;

   Theorem1のCorollaryより{\{A \in R\}}の共通の固有ベクトルvがとれる.

   この時, 全ての{A \in R}に対し{Av = a_Av}が成り立つ.

   {A,B \in R}に対して{a_{o(A,B)}v = o(A,B)v = o(a_A,a_B)v}が(o(,)が加法, 減法, 掛け算の時に)成立する.

   したがって, fが環準同型と分かる.

{B \in R}{0 \subsetneqq V_B \{ b\}  \subsetneqq V }なるものがあるとする.

{V = \oplus_c V_B\{ c \}} (cはBの固有値を渡る) と分解する.

{A \in R}について, {A \cdot V_B\{ c \} \subset V_B\{ c \} }が成り立つから帰納法の仮定より{V_B\{ c\}= \oplus_\alpha (V\langle \alpha \rangle \cap V_B \{ c\})}が成り立つ.

 従って {V = \Sigma_{\alpha} V\langle \alpha \rangle}が成り立ち,  {V = \oplus_{\alpha} V\langle \alpha \rangle}も示せる. □

 

 

 

Remark

一般に同時ジョルダン標準化は出来ない.

例えば

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とおく. まず

(☆) AB=BA

である.

Bのジョルダン標準形はB自身もしくは

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であり, Aのジョルダン標準形は

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であることが計算できる.この時,

(☆☆)BJ≠JB, B'J≠JB'

であることに注意する.

もしAとBが同時ジョルダン標準化可能(つまり{PAP^{-1},PBP^{-1}}がともにジョルダン標準形となる可逆行列Pが存在する)ならば(☆)よりJB=BJもしくはJB'=B'Jが成り立つはずであるが, これは(☆☆)に矛盾する.