Reduced Traceについて
定理3' について、忘備録として書いておきます。
最近、書こうとしたことをキレイに忘れることがよくあって、この記事もそういう感じで書いたり消したりを繰り返し、忘備録だったはずなのに計24時間くらいかけてしまった気がします。
まあ多分、キーボードに必死だというのが決定的なんですが
まず、reduced traceの定義を書いておきます。これは体k上の単純環に対して定義されます。
kを体, Aをk上(環として)有限生成な単純環とする. K=Z(A)をAの中心とする.
証明: をイデアルとする. はAのイデアルだから0かAである.
よって, I=0またはIA=Aである.
IA=Aとするととでとなるもんもがある. するととなるのでI=Kが言える.
よってKは体である. □
以降, K=k とする.
さて, 次の定理が知られている.
このようなLをAの分解体という.
すると, に対して, と見たときのをaのAに関するreduced traceという.
分解体として有限次分離拡大がとれることが知られている.
Lが分解体, M/Lを拡大とするとMも分解体である. 特にKの代数的閉包は分解体になることが分かる.
は分解体Lのとり方によらないこともすぐ分かる.
さて, 次のような場合に, reduced traceと通常のtraceの関係を調べてみます。
kを体, Rをk-algebra, Wを既約R加群とする.(例えば, R=k[G]として表現論へ応用する).
ここでWは有限次kベクトル空間であると仮定する. とする. するとは斜体となる.
K=Z(D)とするとDはK上の中心的単純環である.
をR準同型とする.
次の定理が主定理である.
キーとなる次の命題を示しておく.
証明: 必要ならすることで, Fは代数閉体であると仮定して良い.
とすると, .
すると, . □
証明は簡単である.□
定理3を証明する.
とする.
すると,
※Wは1次元ベクトル空間だから, n=m^2である. よってm/n = 1/m.
※定理3はもう少し拡張できる. として,はK=Z(D)上の中心的単純環である. をR準同型とする.