Jordan標準形を使ったらできた - 冬の数学日記(Mathematic Diary in Winter)

以前の記事「体の拡大とトレース」

http://wagomu.hatenablog.com/entry/2015/04/11/175540

で証明できていなかった命題(命題3)が証明できたので紹介します。タイトル通り、Jordan標準形の理論を使ったらできました。小ネタにどうぞ。

Jordan標準形

まず、一般の体上のJordan標準形の理論を、できるだけ大事な点に絞って説明します。

kを体, Vをn次k線形空間, ${f:V\rightarrow V}$ を線型写像とする。また, Vのk基底 $(v_1,\ldots,v_n)$ をとり, $(v_1,\ldots,v_n)$ に関するfの表現行列がXであるとする.

Vは次の作用によって ${k[T]}$ 加群になる;

${k[T] \times V \rightarrow V : (a_0 + a_1T + \cdots + a_mT^m, v) \mapsto a_0 + a_1f(v) + \cdots + a_m f^m(v)}$

ここで ${a_0,\ldots a_m}$ はkの元, ${f^m}$ はm回の合成を表している.

Jordan標準形に変形するというのはfに適したVの基底をとりなおす、ということを意味しています。ここでは ${k[T]}$ 加群という新しい構造をいれて、そこでの代数の力を借りて、「良い」基底を作り出すわけです。

Vは当然 ${k[T]}$ 加群として ${v_1,\ldots,v_n}$ で生成されるから,

${\varphi:k[T]^n \rightarrow V: (f_i(T))_i \mapsto (f_i(v))}$

という全射 ${k[T]}$ 準同型がある.さらに, 次の列は完全系列になることが分かる;

${k[T]^n \rightarrow k[T]^n \rightarrow V \rightarrow 0}$ .

但し, 一番左の写像は ${T\cdot I_n - X \in \mathrm{M}_n(k[T])}$ による ${k[T]}$ 準同型, 真ん中の写像は先ほどの ${\varphi}$ である.

ここで単因子論と呼ばれている次の事実を認める;

単因子論RをPID, ${Y \in \mathrm{M}_s(R)}$ とする.この時, ある ${P,Q \in \mathrm{GL}_s(R)}$ があって

(★) f:id:Wagomu:20150502185905p:plain

この ${(d_1, \ldots ,d_s)}$ with ${d_1|d_2|\cdots|d_s}$ を単因子という. (単因子はYから一意的に決まることも示せる.)

上の事実のRを ${k[T]}$ として, ${d_i}$ を ${d_i(T)}$ にして適用する.Vが有限生成 ${k[T]}$ 加群だから ${d_i(T) \not=0}$ である.

次の可換図式が成り立つ.

(☆)

f:id:Wagomu:20150502192625p:plain

訂正：上の図式の ${P}$ を ${Q^{-1}}$ に, ${Q}$ を ${P}$ に訂正します。

この可換図式より, ${k[T]}$ 同型, (特にk同型でもある) ${V \cong \oplus_{i=1}^h k[T]/(d_i(T))}$ が得られる. これが「良い」基底変換を与える. 即ち, ${V_i}$ をこの同型で ${k[T]/(d_i(T))}$ に対応するVの部分空間とすれば, この同型が ${k[T]}$ 同型であたことから ${f(V_i) \subset V_i}$ であって, さらに ${k[T]/(d_i(T))}$ のk基底 ${(1,T,\ldots,T^l)}$ に対応する ${V_i}$ の基底 ${(w_1, \ldots,w_n)}$ に関する ${f |_{V_i}}$ の表現行列は

f:id:Wagomu:20150502184319p:plain

(但し ${d_i(T) = b_0 + b_1T + \cdots + b_{l-1}T^{l-1} + T^l}$ )

となる.　(これの直和をとったものを標準形(☆☆)と呼ぶことにする).

大切なのは標準形(☆☆)が単因子論の変形(★)からスタートして図式(☆)で計算できる点であり、今回の主命題もそれを使う。

もうひとつ, この標準形は体kが任意で良い。一般的に言われるJordan標準形は代数的閉体でできる。

ここでの議論の詳細は単因子論は堀田先生の「代数入門」(裳華房) の2章など, ホモロジー代数は適当なホモロジー代数の本を参照してください。

命題の証明

さて、本題へとりかかります。

命題Vをn次kベクトル空間, ${v_1,\ldots,v_n}$ を基底, ${f:V\rightarrow V}$ を線型写像, Aを ${v_1, \ldots, v_n}$ に関するfの表現行列とする.この時Vの基底 ${w_1,\ldots,w_n}$ でfの表現行列が ${A^{t}}$ になるようなものがある.

証明：命題は, 次の主張へ言い換えができる;

${A \in \mathrm{M}_n(k)}$ に対し, ${P \in \mathrm{GL}_n(k)}$ が存在して ${A^t = P^{-1}AP}$ を満たす. (ここで ${A^t}$ は転置である)

${Q_1(T\cdot I_n - A)Q_2}$ が単因子が対角成分に並ぶような ${Q_1, Q_2 \in \mathrm{GL}_n(k)}$ をとってくる. この時, ${{Q_2}^t(T\cdot I_n - A^t){Q_1}^t}$ も単因子が対角成分に並んでいる.(両者の単因子が一致している)

したがって標準形(☆☆)が単因子から一意的に定まることより ${A,A^t}$ 両者の標準形(☆☆)はひとしい. 即ち, ある ${P_1,P_2 \in \mathrm{GL}_n(k)}$ が存在して ${{P_1}^{-1}AP_1 = {P_2}^{-1}A^tP_2}$ が成り立つので主張が示された. □