行列の性質についてのメモ(1) - 冬の数学日記(Mathematic Diary in Winter)

例えば, ○ ○ な性質をもつ正則行列が欲しい、というような場合を考えると

${M_n(k)}$ の中で ${GL_n(k)}$ にある種の稠密性が存在してほしい。

まず, GL_nの元はdeterminantという多項式に代入した値で特徴づけられるから, 最初に代数幾何的な稠密性を考えるのは妥当である. 即ちZariski位相に関する稠密性である.これは, ${M_n(k) \subset Spec(k[T_1, \ldots, T_{n^2}])}$ として位相を入れるもので, Spec()の方に「任意の空でない開集合が稠密である」という性質があるのでM_n()も任意の空でない開集合は稠密.

また, kが代数体, 実数体,複素数体,p進数体の場合には ${GL_n(k) \subset M_n(k)}$ は体の位相から誘導される位相についての稠密性があることが次の定理1からわかる.

定理1 kを位相体であって「任意の空でない開集合に無限個の点を含む」ようなものとする. ${ f \in k[T_1,\ldots, T_n]\setminus}$ を0でない多項式とする.この時 ${D(f) = \{x \in k^n \mid f(x) \not= 0\}}$ は ${k^n}$ の稠密な開集合である.