行列の同時標準化 - 冬の数学日記(Mathematic Diary in Winter)

同時対角化は有名ですが、同時三角化もあります。残念ながら、同時ジョルダン標準化は出来ません(Remark)。しかし、それより少し弱い結果なら成立します(Theorem3+Theorem1).

kは代数閉体とします。

Theorem1(同時三角化) ${\{A_\lambda \in \operatorname{M}_n(k) \}_{\lambda \in \Lambda} }$ をどの2つも互いに可換な行列とする.この時, 可逆行列Pで各 ${\lambda \in \Lambda}$ に対し ${P A_\lambda P^{-1}}$ が上三角行列になるものが存在する.

Proof.

${k^n}$ の部分空間の列 ${0=V_0 \subsetneqq V_1 \subsetneqq \cdots \subsetneqq V_n =V= k^n}$ で, 各 ${\lambda \in \Lambda}$ , 各 ${i = 1,\ldots,n}$ について ${ A_\lambda V_i \subset V_i}$ が成り立つようなものが取れれば良い.

このような列の存在をnについての帰納法で示す.

n=1の時は成立

n>1の時

・全ての ${\lambda}$ について ${A_\lambda}$ がスカラー倍写像の時, 主張は明らかに成立.

・ ${B= A_{\lambda_0},\lambda_0 \in \Lambda}$ がスカラー倍写像でないとする.

この時, ${B}$ の固有値bを一つとれば, ${0 \subsetneqq \operatorname{ker}(B - bI) \subsetneqq V}$ が成立し, ${W := \operatorname{ker}(B - bI)}$ とおくとき ${\{A_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}}$ が ${B}$ と可換だったので ${A_\lambda(W) \subset W}$ が各 ${\lambda \in \Lambda}$ で成立する.

帰納法の仮定をW,V/Wにそれぞれ適用すれば, Vに対して目的の部分列が作れる. □

Corollary(同時固有ベクトルの存在)Vを有限次元kベクトル空間, ${ \{ f_\lambda \in \operatorname{End}_k(V) \}_{\lambda \in \Lambda}}$ をどの2つも互いに可換な線形写像の族とする. この時, ${ \{ f_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}}$ は共通の固有ベクトルを少なくとも一つもつ.

Theorem2(同時対角化) ${\{A_\lambda \in \operatorname{M}_n(k) \}_{\lambda \in \Lambda} }$ をどの2つも互いに可換な行列とする.さらに, 各 ${\lambda \in \Lambda}$ に対し ${A_\lambda}$ は対角化可能であるとする. この時, 可逆行列Pで各 ${\lambda \in \Lambda}$ に対し ${P A_\lambda P^{-1}}$ が対角行列になるものが存在する.

Proof.

nについての帰納法で証明する.

n=1の時, 主張は明らか.

n>1の時,

・全ての ${\lambda}$ について ${A_\lambda}$ がスカラー倍写像の時, 主張は明らかに成立.

・ ${B= A_{\lambda_0},\lambda_0 \in \Lambda}$ がスカラー倍写像でないとする.

この時, ${B}$ の任意の固有値bに対して, ${0 \subsetneqq \operatorname{ker}(B - bI) \subsetneqq k^n}$ が成立し, ${W := \operatorname{ker}(B - bI)}$ とおくとき ${\{A_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}}$ が ${B}$ と可換だったので ${A_\lambda(W) \subset W}$ が各 ${\lambda \in \Lambda}$ で成立する.

${k^n = \oplus_c \operatorname{ker}(B - cI) }$ (cはBの固有値を渡る) と分解するから次のclaimを示せば帰納法の仮定からTheoremも示される.

claim: 各 ${\lambda}$ について, ${A_\lambda |_W \in \operatorname{End}_k(W)}$ は対角化可能である.

${A_\lambda}$ は対角化可能だから, ${A_\lambda}$ の固有値を ${a_1,\ldots, a_s}$ (重複許さず)とすると, ${ k^n = V(a_1) \oplus \cdots \oplus V(a_s) \ (V(a_i) = \operatorname{ker}(A_\lambda - a_iI))}$ と分解する.

${ w \in W}$ を ${ w = x_1 + \cdots + x_s \ (x_i \in V(a_i))}$ と書くとき,

(★)　 ${ bx_1+ \cdots + bx_s = bw = Bx = Bx_1 + \cdots + Bx_s }$

となる. ${i=1,\ldots,s}$ について ${BV(a_i) \subset V(a_i)}$ が成り立つから (★) から各 ${i=1,\ldots,s}$ について ${ Bx_i = bx_i}$ が成り立つ.

従って, ${W = W \cap V(a_1) \oplus \cdots \oplus W \cap V(a_s)}$ と分かり, これは ${A_\lambda |_W \in \operatorname{End}_k(W)}$ が対角化可能であることを意味する.□

(この証明はkが代数閉体であることを使っていません！)

Theorem3Vを有限次元kベクトル空間, ${R \subset \operatorname{End}_k(V)}$ を可換な部分環とする. 環準同型 ${\alpha:R \rightarrow k}$ に対して ${V \langle\alpha\rangle:=\{ v \in V \mid \exists n \in \mathbf{N}, \forall A \in R, (A-f(A)I)^nv=0 \}}$ と定める. この時, ${V = \oplus_{\alpha \in Hom(R,k)}V\langle\alpha\rangle }$ が成り立つ.

Proof.

n= ${\dim_kV}$ についての帰納法で証明する.

n=1の時, 主張は明らか.

n>1の時,

${A \in R}$ とAの固有値aに対し, ${V_A \{a\} := \{ v \in V \mid \exists N \in \mathbf{N}, (A - aI)^Nv = 0 \}}$ とおく.

・すべての ${A \in R}$ とAの固有値aに対し, ${V_A\{a\} = V}$ が成立する時, Aに対する唯一の固有値を ${a_A}$ とおくとき, ${f:\operatorname{End}_k(V) \rightarrow k:A \mapsto a_A}$ が環準同型であることを示す;

　　　Theorem1のCorollaryより ${\{A \in R\}}$ の共通の固有ベクトルvがとれる.

　　　この時, 全ての ${A \in R}$ に対し ${Av = a_Av}$ が成り立つ.

　　　 ${A,B \in R}$ に対して ${a_{o(A,B)}v = o(A,B)v = o(a_A,a_B)v}$ が(o(,)が加法, 減法, 掛け算の時に)成立する.

　　　したがって, fが環準同型と分かる.

・ ${B \in R}$ で ${0 \subsetneqq V_B \{ b\} \subsetneqq V }$ なるものがあるとする.

${V = \oplus_c V_B\{ c \}}$ (cはBの固有値を渡る) と分解する.

各 ${A \in R}$ について, ${A \cdot V_B\{ c \} \subset V_B\{ c \} }$ が成り立つから帰納法の仮定より ${V_B\{ c\}= \oplus_\alpha (V\langle \alpha \rangle \cap V_B \{ c\})}$ が成り立つ.