昔掲示板で…

僕がまだ高校生の時、casphy数学板で出会った問題です。面白かったのでいつか紹介しようとおもって忘れていたことを思い出しました。

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1198099712/l50

例によって僕は適当なことを連発していたりするのですが（笑）

231 ﾌﾞ ﾘ ｼﾞ ｯ ﾀ　[2011/04/27(水) 22:33:50]

△ABCの内接円とBC,CA,ABの交点をそれぞれD,E,Fとする。
BEとDFの交点をK、CFとDEの交点をLとする。
線分EKの中点をM、線分FLの中点をNとする。
∠EFM=∠FENを示せ。

【証明】

内接円をΓ、その中心をO、BE,FCとΓの交点をP,Q、DF,DEの中点をR,Sとおく。
また、ER,FSとΓの交点をT,Uとおく。

△OBD∽△ODRより
OE^2=OD^2=BO*RO となって
△OBE∽△OER
従ってO,R,P,Cが共円であることから
∠TRB =∠PRB がわかる.

よってT,PはBOに関して対称.
同様にU,QはCOに関して対称.

FE//RSから∠FSR=∠SFE=∠QTE 
従ってR,S,T,Uは共円より∠FUR=∠ETS .

ところで△FLE∽△FDU,△EKF∽△EDTであるから∠EFM=∠FEN■

掲示板から多少訂正してあります。発想の順番としては最後の1行を先に考えていました。